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初等数论_理学_高等教育_教育专区

时间:2021-01-20 14:27:28

初等数论 初等数论从表面意义来讲, 就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。准确 地按照潘承洞、 潘承彪两位数论大师的说法: 初等数论是研究整数最基本的性质, 是一门十分重要的数学基础课。它不仅是中、高等师范院校数学专业,大学数学 各专业的必修课, 而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。纵观数论发展过 程,我国出现了许许多多的数论大师,如:华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘 承洞等。 第一部分:整除 初接触初等数论,经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。整 除理论首先涉及整除。 现向上延伸则想到整除的对象, 即自然数、 整数。 从小学、 中学再到大学,我们从接触最初的 1、2、3 再到后来的有理数、无理数、实数再 到复数, 可谓种类繁多。 但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关 范围内。首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括 0 ,这似乎与中 学有一点差别,当然整数的定义改变就相对少得多。另外,自然数、整数的相关 基本性质需懂得及灵活利用,如分配律、交换律、反对称性等。在初等代数中曾 系统地介绍了自然数的起源问题:自然数源于经验,自然数的本质属性是由归纳 原理刻画的,它是自然数公理化定义的核心。

自然数集合严格的抽象定义是由 Peano 定理给出的, 他刻画了自然数的本质属性, 并导出有关自然数的有关性质。 Peano 定理:设 N 是一个非空集合,满足以下条件: (ⅰ)对每一个 n∈N,一定有唯一的一个 N 中的元素与之对应,这个元素 记作 n+,称为是 n 的后继元素(或后继); (ⅱ)有元素 e∈N,他不是 N 中任意元素的后继; (ⅲ)N 中的任意一个元素至多是一个元素的后继,即从 a+=b+ 一定可以推 出 a=b; (ⅳ)(归纳原理)设 S 是 N 的一个子集合,e∈S, 如果 n∈S 则必有 n+ ∈S, 那么,S=N. 这样的集合 N 称为自然数集合,它的元素叫做自然数。 其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。 数学归纳法在中学已属重 点内容,此处就不作介绍。主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法: (第二种数学归纳法)设 P(n)是关于自然数 n 的一种性质或命题。如果 (1) 当 n=1 时,P(1)不成立; (2) 设 n>1,若对所有的自然数 m使 ax=b 有解, 称为 Z 上的整除关系。 (任意的 δ ∈R, 存在 a,b∈Z, 使得 δ = (a,b) ∈R,一般写成 aRb,称为 a 与 b 有整除关系,也称 a 是 b 的约数,也称 b 是 a 的 倍数。

) aRb 令为 a∣b,这就回到了第一种定义,其实这两种定义方式看似一样,其 数学内涵却大有不同:第一种定义方法是从最原始的观点出发,也可说从“整 除”的字面意思来定义, 也是中学最常用的一种定义方式,因此只能算作一种简 单明了的数学思维, 并不能真正体现数学的高等数论。尽管初等数论是一种初等 思想去解决一些高等难题。第二种定义方法则焦点于高等代数中的环、域定义。 环、域定义让我们的数学定义方式更加广泛,这是初等数学中所没有的,因此有 的时候初等数学解决不了的问题就可以用此种定义去解决, 这给了我们更广泛的 思维空间。对整除的各方面性质可以归纳如下: 1) 序关系 ≤ (N,bRa 对称关系 ③ aRb,bRc=>aRc 传递性 注意:整除不是等价关系 3) 整除具有线性可加性 a∣bi (1≤i≤n) ó a∣∑bixi xi∈Z 4) 整除可约性 a∣bó ma∣mb(m≠0) 5) 整除与符号无关 a∣bó∣a∣∣∣b∣ ó -a∣bóa∣-b 6) a∣b(b≠0)=>∣a∣≤∣b∣ 上面这些性质可以灵活的加以利用,其魅力就可显现出来: 已知 a,b∈Z.a2+b2≠0,存在 x,y∈Z 使得 ax+by=1.若 a∣bq,则可证 a∣q A ,b 同例 1 存在 ax+by=1 如果 a∣n,b∣n 则 ab∣n 整除的这些性质应用可谓变幻无穷。

特别是在后面的素数、合数的相关性质 方面及其证明中。 下面就来介绍一下关于素数的一些性质,当然介绍素数的同时 还涉及到关于合数的问题。 点到部分再一一介绍。从目前所学的内容来看关于素 数的性质占了很大的比重, 应该说是素数和整除的性质占了很大的部分,故彰显 其重要性。 素数的概念与中学学的相差不大, 只存在名称的扩充问题。 显然约 (因、除)数,非显然约(因、除)数,真约(因、除)数的辨别问题。当然须指出的 是以后所介绍的素数一般指正的。 知道素数的概念后就应该思考一下关于素数的 基本求法。在课本随后的介绍中讲到了 Eratosthenes 筛法(在本书的第八章: 素数分布的初等结果中有详细的讲解) 来自书中的推论 6 即为该筛法的相关理论 背景: 推论 6:设整数 a≥2. (ⅰ) 若 a 是合数,则必有不可约数 p∣a,p≤a1/2 (Ⅱ) 若 a=p1p2?ps 的表示式,则必有不可约数 p|a,p≤a1/s 其主要原理就来自于这个推论 6。当然此种意义下的 Eratosthenes 筛法是 最简单的了。对于它的推广应用还很多初等数论,比如说:如何找出 1,2,?,N 中至多 两个素数的乘积的数?这就是推广意义下的应用, 只是在推论 6 的理论下 a 的二 分之一的情况改为三分之一的情况,这也可以看出推论 6 也可以推广的。

故我们 知道该筛法有很多种应用情况, 比如说至少两个素数的乘积的情况,至多三个的 情况, 至少三个的情况等等。 我们可以明显地观察出上面的这些解法是在有限的 情况下来讨论的,故我们需要研究一下再不知道具体情况下的素数的一些情况。 在不明确范围的情况下有很多种状况: 如:①设 n≥1,2n+1 是素数的必要条件是 n=2k; ②2n-1 是素数的必要条件是 n 为素数; 其证明也很简单:①若 n≠2,则 n=am,2 不等于大于 1 的 m 2n+1=(2a)m+1=(2a+1)((2a)m-1-(2a)m-2+?+1)便可得到 ②若 n 是合数,则 n=am.a>1,m>1 2n-1=(2a)m-1=(2a-1)((2a)m-1+(2a)m-2+?+1)便可得到 其中数学中的一个著名定理是:不可约数(素数)有无穷多个。除了课本中 给出的证明方法以外yabo网页版 ,在习题中也有一些证明方式来进行证明: 如: 1) 设 n≥0,Fn=2 的 2N 次加上 1 (它称为 Fermat 数) 再设 m≠n,且 d|Fn, 则 dFn 由此推出素数有无穷多个,且可得到 Fn+1=Fn ? F0 +2 ; 2) 设 F1 =2, An+1=A2n – AN +1,再设 n≠m,若 d|An,d>1,则 d 不整除于 Am,由此推出素数有无穷多个,且可得到 An+1=An ? A1 +1.(设 m>1,m|(m-1)!+1, 可得到 m 是素数。

) 有了素数及整除的定义后,首先要考虑的就是公约数、 最大公约数、 公倍数、 最小公倍数。乍一看银河体育app ,这似乎就是中学内容。不错,根据初等数论的低落脚点, 这属于中学知识的衍生而已。 除了其定义是通过整除来定义以外,其他的性质也 有适当的延伸。其中较重要的一个就是:如果存在整数 x1,x2,x2,?,xk,使得 a1x1+a2x2+a3x3+?+akxk=1,则 a1,a2,?,ak 是既约的,即使互素的。-------(1) 这一定理在后面部分有着十分重大的作用。 如在实现建立最大公约数理论的 第二个途径处:设 a1,?,ak 是不全为零的整数,有1)(a1,a2,?,ak)=min{s=a1x1+a2x2+?+akxk;xj∈Z(1≤j≤k),s>0},即 a1,?,ak 的最大公约数等于 a1,?,ak 的所有整系数线性组合组成的集合 S 中的 最小正整数。 2)一定存在一组整数 x1,0, ? ,xk,0 使得(a1, ? ,ak )=a1 x1,0 + ? + ak xk,0 ---------(2) 要论及上面这个定理得应用,下面可以举一个简单的例子: 若(a,b)=1 则任一整数 n 必可表示为 n=ax+by,x,y 是整数。

由(a,b)=1 及 上定理(2)知存在 x0,y0, 使得 ax0+by0=1,因而取 x=nx0,y=ny0, 即满足要求。 此题属于定理(1)(2)得综合运用,仍可想到的是在定理(2)有一种特 殊情况,若其中的每一个元素均两两互素,那么情况(2)也就变成情况(1)了, 因此情况(2)可以看作此种情况(1)的推广,情况(1)就看作情况(2)得特 殊情况而已。在构造一系列既约数方面应用得较多的方法就是下面这个方法: (a1/(a1,?,ak),?,ak/(a1,?,ak))=1 关于最大公约数理论和最小公倍数理论的进一步性质推广, 重在利用带余数 除法在最大公约数理论部分讨论。 整数集合最重要的特性就在于其中可以实现带 余数除法(也称带余除法或除法算法),它是初等数论中的证明中最重要、最基 本、最直接的工具。具体应用带余数除法时常取以下更灵活的形式: 设 a,b 是两个给定的整数,a≠0,再设 d 是一给定的整数,那么,一定存在 唯一的一对整数 q1 与 r1,满足 b=q1a+r1,d≤r10, 任一整数被 a 除后所得的最小非负余数是且仅是 0,1,?,a-1 这 a 个数中的一个。

这个推论最直接的用法就是整数分类以及进位制表示法,间接影响到辗转相除 法。 首先来看整除分类: j mod m 称为 j 关于除数 m 所在的剩余类, 则有 0 mod a∪1 mod a∪?∪(a-1) mod a=Z,其中 0≤i≠j≤(a-1)是集合 j mod a 和 j’ mod a 不相交。 此时是利用全体整数按被 a 除后所得的最小非负余数分类,分成了两 两不相交的 a 个类,这对诠释整除的含义有更积极的意义。仔细观察,我们就会 发现此种划分法与第三章中的“同余”有相似之处,最明显之处就是定义:a 同 余于模 m,如果设 m≠0,若 m|a-b,即 a-b=km,与 j mod m 的定义 j 关于除数 m 的所在剩余类,或许根本就是一个知识点。确切的说 j mod m 这个知识点属于 同余的一个分支而已初等数论,即同余类(剩余类)。 进位制的表示法可以看作是初等数论与计算机科学的一个交叉利用。 在计算 机理论科学中,经常会遇到十进制、二进制、八进制、十六进制、甚至三十二进 制之类的知识点。而初等数论中的此处讲解得更为广泛、更为深刻。 辗转相除法单独运用的情况一般较少,常用于综合分析,特别是与最大公约数理论的联合利用。

最大公约数理论与最小公倍数理论及其推广逐渐涉及到实际 生活中的问题,例如四色问题的翻版。 至此, 建立了整数集合 Z 中的最大公约数理论,特别是讨论了如何从各种不 同的途径来建立这一理论, 这是尤为重要的。因为这主要不是为了利用不同的技 巧给出不同的证明,而是由于这些思想概念、方法、理论体系结构是整个数学中 最宝贵的、最有用的部分之一。 最大公约数理论最直接的用处在于用来证明算术基本定理,算术基本定理: 设有一个大于 1 的数 a, 可将 a 化成 s 个数的乘积, 且每一个乘积因子均为素数, 且在不及次序的情况下,这种划分算法是唯一划分。 一个整数的个数知道的很少,由算术基本定理及其推论表明:只要知道大于 1 的正整数 a 的标准分解式,那么它的所有正约数都知道了,这一点具有很重要 的理论及应用价值。这些知识还可涉及到除数函数、除数和函数等方面的知识。 在第一章第 6 节还指出了可以利用第 4 节中关于最大公约数的理论, 直接证明算 术基本定理。 直接证明最常用的方法就是利用整除、最小自然数原理以及带余数 除法和素数的相关性质来证明。 一般都尝试用反政法来做此类证明,毕竟是证明 那样的等式是唯一的情况。

不管是那个数学问题,针对此类问题最常用的方法就 是反证法。 经过证明后可知, 直接证明算术基本定理, 进而也就得到了关于除数、 最大公约数、 最小公倍数的表达式,而在所有的论证中很少用到第 4 节的最大公 约数理论方面的性质。于是,从相反的方面来思考,我们可以用算术基本定理来 证明整除及最大公约数理论中大部分性质,而且论证更为直观易懂。事实上,可 以从算术基本定理出发来定义最大公约数,建立最大公约数理论。 如在整数集合 Z 中关于两个整数 u0,u1(u1 ≠0)最大公约数(u0,u1)的以 下五种定义是等价的:(1)(u0,u1)是 u0,u1 的公约数中最大的; (2)(u0,u1)是 u0,u1 的这样一个公约数 D:D>0,及对 u0,u1 的任一公约 数 d 必有 d|D; (3)(u0,u1)是形如 u0x+u1y 的正整树种最小的一个; (4)(u0,u1)是辗转相除法中的 uk+1; (5)若 u0,u1 的素因数分解式是 u0=Pα 11?Pα SS, u1=Pβ 11?Pβ SS. 定义 (u0,u1)= Pδ 11?Pδ SS,其中 δ J=MIN(α j,β j),1≤j≤s. 此外虽然证明了每个合数都可以唯一分解为素数的乘积, 但如何实现此类分 解,特别是大数的分解,当今数学界仍然没有统一且有效的方法。

对于取整以及 求 n! , 这在初等代数中有过详细的讲解, 只是初等数论中有不一样的认识而已。 容斥原理也属于组合数学中的重点内容。可见数论并不是孤立存在的,而是与各 数学分支紧密相连的。 在初等代数中,我们知道初等数学研究的步骤是先数,然后是式,在后就是方程之类的知识点。 故接下来我们要讨论的就是方程问题,也就是初等数论中的 不定方程的问题。变数个数多于方程个数,且取整数值的方程(或方程组)称为 不定方程(或不定方程组)。不定方程是数论中一个十分重要的课题。这儿主要 讨论能直接利用整除理论来判断其是否有解, 以及有解时求出其全部解的最简单 的不定方程。 ixi=c (1)的解法: 解法 1: 定理 3(书上 83 页) 解法 2: 辗转相除法(书上 85 页例 6) 解法 3:(x10,?,xn0)为(1)的一个特解,其次任意的(1)的线性解为 (x10,?,xn0) 令 xi=xi0+∑β ijtj 代入(1)中即可。 例:求 15x1+10x2+6x3=61 的解。 分析:找出系数绝对值最小值对应的变量,此时即找出 x3 从中解出 x3=(61-15x1-10x2)/6 =(10-3x1-2x2)+(1/6+1/2x1+1/3x2) 令 x4=1/6+1/2x1+1/3x2 其中 x4∈Z ó 6x4-1-3x1-2x2=0 同样的方法解上式,即:x2 的系数绝对值最小: 则:x2=(6x4-3x2-1)/2 =3 x4- x1- (x1+1)/2; 令 x5= (x1+1)/2 ,其中 x5∈Z x1 的系数绝对值最小,又其系数绝对值为 1 => x1=2x5-1; 将 x5 视为参数回代亚博vip ,有 x2=3x4-3x5+1; X3=10-3x1-2x2+ x4; 故, 经过整理便得到此题的解, 这不时为一种好的有别于课本中的一种方法。

前面是如何解出方程的解, 那么针对是否有解以及是否为正解就要用到下面 的这个定理。 定理:设 a1,a2 及 c 均为正整数,(a1,a2)=1.那么,当 c > a1a2 时,方 程 a1x1+a2x2=c 有正解,解数等于-[-c/(a1a2)]-1 或-[-c/(a1a2)];当 c= a1a2 时,所求方程无解。 讨论完一次不定方程, 下面来关注二次不定方成, 即商高方程或 Pythagoras 方程 其实在一些特 殊情况下,可求其解。其实这一特殊情况下,也可求其解。利用下面这个定理: 不定方程 x2 + y2 = z2 的 y 为偶数解的全体本原解由以下公式给出: x = r2 - s2 , y=2rs , z = r2 + s2 , 其中 r,s 为满足以下条件的任意整数:r > s > 0, (r,s), 2 不整除 r+s. 推广情况情况下,涉及 Fermat 大定理:Fermat 大定理,即当 n≥3 时,不 定方程 xn+yn=zn,无 xyz≠0 的整数解。其英文名为 Fermat Last Therem 为何 为 Last Therem,这是因为 Fermat 不加证明地提出了数论中的定理,这就是其 中一个。

后来,大多数结论被证明是对的,个别的则被否定了,而这一个是最后 唯一一个定理即没有被否定也没有被证明的。当然,这个定理已于 1993 年 6 月 由英国数学家 Andrew Wiles 所解决。有 Fermat 大定理,当然就有 Fermat 小定 理。Fermat 小定理涉及属于同余方面的知识点。故下面就重点介绍同余方面的 知识点。 第三章 同余 同余在前面应用部分中已经有所涉及,此处就不再赘述。只是描述一些同余 的性质而已。有同余是一种等价关系,即为 a = a ( mod m ):同余可以下相加, 也可以相乘,可扩展到多项式方面。由于同余的定义是建立在整除的基础上,故 不少关于同余的性质,其实就是整除性质的一个转化而已。比如说,我们知道 d≥1 , d|m , m|a-b , 由整除的传递性可知 d|a-b 转化为同余概念就有: 若 a = b ( mod m ) 成立,则 a = b ( mod d ) 故进一步的整除性质可以得到相应的同余式的性质, 这些性质和等式性质不 同,比如说 m | c(a-b) 等价于 m/(c,m)|[c/(c,m)](a-b) 根据第一章第四节定理 6,即 :设(m,a)=1,那么若 m|ab,则 m|b,及 (m/(c,m),c/(c,m))=1 知这等价于 m/(c,m)|a-b; 转化于同余式有 同余式 ca = cb( mod m ) 等价于 a = b ( mod m/(c,m)) 特别的,当(c,m)=1 时,同余式 ca = cb( mod m ) 等价于 a = (mod m) 即同余式 ca = cb( mod m )两边可以同时除以 c.有整除方面的推导就必然想到最大公约数理论等方面的性质, 可见整除方面 的性质可经过技巧性的改变转化为同余式方面的性质。观察上面的部分推导,可 观察到利用同余符号比利用整除符号要方便得多, 并且同余有利于数学思维的进 一步发散。对于同余,仍有更深一层次的理解,比如说模的遍历问题、Fermat 小定理、同余方程方面。

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